Question

16．如甲圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點，將△ADE沿AE折起到△D₁AE位置，使平面D₁AE⊥平面ABCE，得到乙圖所示的四棱錐D₁-ABCE．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）求二面角A-D₁E-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE中點F，連D₁F，求解三角形可得D₁F⊥AE，又平面D₁AE⊥平面ABCE，利用面面垂直的性質可得D₁F⊥平面ABCE，從而得到D₁F⊥BE．在△ABE中，可得BE⊥AE，再利用線面垂直的判定可得BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）由題意，取AB中點G，以E為坐標原點，分別以EG，EC為x，y軸正方向建立空間直角坐標系E-xyz．求出所用點的坐標，得到平面AD₁E與平面CED₁的法向量．利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-D₁E-C的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取AE中點F，連D₁F，
在△AD₁E中，∵D₁A=D₁E=2，∴D₁F⊥AE，
又∵平面D₁AE⊥平面ABCE，∴D₁F⊥平面ABCE，
∵BE?平面ABCE，∴D₁F⊥BE．
在△ABE中，可得$AE=2\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{2}$，AB=4，
∴BE⊥AE，又∵D₁F∩AE=F，
∴BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）解：由題意，取AB中點G，以E為坐標原點，分別以EG，EC為x，y軸正方向建立空間直角坐標系E-xyz．
如圖所示，則E（0，0，0），C（0，2，0）D₁（1，-1，$\sqrt{2}$），B（2，2，0），
由（Ⅰ）知：$\overrightarrow{EB}=（2，2，0）$是平面AD₁E的法向量，
設平面CED₁的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，則
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{D}_{1}}=x-y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，則x=-$\sqrt{2}$，y=0，
∴$\overrightarrow{m}=（-\sqrt{2}，0，1）$，
設二面角A-D₁E-C的平面角為θ，
則|cosθ|=|cos＜$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由圖可知，二面角A-D₁E-C的平面角為鈍角，
∴cos$θ=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即二面角A-D₁E-C的余弦值為$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．