Question

12．已知數(shù)列{a_n}共有3n（n∈N^*）項(xiàng)，記f（n）=a₁+a₂+…+a_3n，對任意的k∈N^*，1≤k≤3n，都有a_k∈{0，1}，且對于給定的正整數(shù)p（p≥2），f（n）是p的整數(shù)倍，把滿足上述條件的數(shù)列{a_n}的個數(shù)記為T_n．
（1）當(dāng)p=2時，求T₂的值；
（2）當(dāng)p=3時，求證：T_n=$\frac{1}{3}$[8ⁿ+2（-1）ⁿ]．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和組合數(shù)公式的性質(zhì)證明．

解答 解：（1）當(dāng)n=2時，{a_n}共有6項(xiàng)，當(dāng)p=2時，f（n）為偶數(shù)，
∴{a_n}中1的個數(shù)為偶數(shù)，
∴T₂=${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{2}$+${C}_{6}^{4}$+${C}_{6}^{6}$=32．
（2）證明：p=3時，{a_n}中1的個數(shù)為3的倍數(shù)，
∴當(dāng)n=1時，T₁=${C}_{3}^{0}$+${C}_{3}^{3}$=2，顯然結(jié)論成立，
假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即T_k=$\frac{1}{3}$[8^k+2（-1）^k]，
即T_k=${C}_{3k}^{0}$+${C}_{3k}^{3}$+C${\;}_{3k}^{6}$+…+${C}_{3k}^{3k}$=$\frac{1}{3}$[8^k+2（-1）^k]，
∴當(dāng)n=k+1時，T_k+1=${C}_{3k+3}^{0}$+${C}_{3k+3}^{3}$+…+${C}_{3k+3}^{3k+3}$，
又${C}_{3k+3}^{0}{=C}_{3k}^{0}=1$，
${C}_{3k+3}^{3}$=${C}_{3k}^{3}$+3${C}_{3k}^{2}$+3${C}_{3k}^{1}$+${C}_{3k}^{0}$，
${C}_{3k+3}^{6}$=${C}_{3k}^{6}$+3C${\;}_{3k}^{5}$+3C${\;}_{3k}^{4}$+${C}_{3k}^{3}$，
${C}_{3k+3}^{9}$=${C}_{3k}^{9}$+3${C}_{3k}^{8}$+3${C}_{3k}^{7}$+${C}_{3k}^{6}$，
…
${C}_{3k+3}^{3k}$=${C}_{3k}^{3k}$+3C${\;}_{3k}^{3k-1}$+3${C}_{3k}^{3k-2}$+${C}_{3k}^{3k-3}$，
C${\;}_{3k+3}^{3k+3}$=${C}_{3k}^{3k}$，
∴T_k+1=2（${C}_{3k}^{0}$+${C}_{3k}^{3}+$${C}_{3k}^{6}$+…+C${\;}_{3k}^{3k}$）+3（C${\;}_{3k}^{1}$+${C}_{3k}^{2}$+C${\;}_{3k}^{4}$+${C}_{3k}^{5}$+…+${C}_{3k}^{3k-2}$+${C}_{3k}^{3k-1}$）
=2T_k+3（${C}_{3k}^{0}+$C${\;}_{3k}^{1}$+${C}_{3k}^{2}$+…+${C}_{3k}^{3k}$-${C}_{3k}^{0}$-${C}_{3k}^{3}$-${C}_{3k}^{6}$-…-${C}_{3k}^{3k}$）
=2T_k+3（2^3k-T_k）
=3•8^k-T_k
=3•8^k-$\frac{1}{3}$[8^k+2（-1）^k]=$\frac{1}{3}$[8^k+1-2（-1）^k]=$\frac{1}{3}$[8^k+1+2（-1）^k+1]
∴當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立，
∴T_n=$\frac{1}{3}$[8ⁿ+2（-1）ⁿ]．

點(diǎn)評 本題考查了組合數(shù)公式的性質(zhì)與應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．