Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+4}$（n∈N^*），設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}-λ}{{a}_{n}-μ}$（n∈N^*，λ，μ為均不等于2的且互不相等的常數(shù)），若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則λ•μ的值為-3．

Answer 1

分析 由題意可得b_n+1，結(jié)合數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，可得$\frac{_{n+1}}{_{n}}=q$為常數(shù)，即$\frac{{a}_{n}-λ}{{a}_{n}-μ}q=\frac{（2-λ）{a}_{n}+（3-4λ）}{（2-μ）{a}_{n}+（3-4μ）}$，展開整理后利用系數(shù)為0列式求得λ，μ的值，則答案可求．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+4}$（n∈N^*），且b_n=$\frac{{a}_{n}-λ}{{a}_{n}-μ}$（n∈N^*，λ，μ為均不等于2的且互不相等的常數(shù)），
∴$_{n+1}=\frac{{a}_{n+1}-λ}{{a}_{n+1}-μ}$=$\frac{\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+4}-λ}{\frac{2{a}_{n}+3}{{a}_{n}+4}-μ}=\frac{（2-λ）{a}_{n}+（3-4λ）}{（2-μ）{a}_{n}+（3-4μ）}$，
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}=q$為常數(shù)，
∴$\frac{{a}_{n}-λ}{{a}_{n}-μ}q=\frac{（2-λ）{a}_{n}+（3-4λ）}{（2-μ）{a}_{n}+（3-4μ）}$，
化為：$（2q-qμ-2+λ）{{a}_{n}}^{2}+$[q（λμ-2λ-4μ+3）-（λμ-2μ-4λ+3）]a_n-q（3λ-4λμ）+（3μ-4λμ）=0．
∴2q-qμ-2+λ=0，q（λμ-2λ-4μ+3）-（λμ-2μ-4λ+3）=0，q（3λ-4λμ）-（3μ-4λμ）=0．
聯(lián)立解得λ=-3，μ=1，q=5．
∴λμ=-3．
故答案為：-3．

點評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查計算能力，是中檔題．