Question

8．求函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$的單調(diào)區(qū)間．判斷在各單調(diào)區(qū)間上函數(shù)的單凋性．并證明你的判斷．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)研究其函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
則f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x×2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$．
令f′（x）=0，則x=±1．
當(dāng)x＞1或x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在（1，+∞）和（∞，-1）是單調(diào)減函數(shù)．
即單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）和（∞，-1）．
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在（-1，1）是單調(diào)增函數(shù)．
即單調(diào)增區(qū)間為（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解原函數(shù)的單調(diào)性．