Question

11．已知函數(shù)h（x）=-|x-3|．
（1）若h（x）-|x-2|≤n對任意的x＞0恒成立，求實數(shù)n的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{x}+5，0＜x＜3}\\{2x，x≥3}\end{array}\right.$，求函數(shù)g（x）=f（x）+h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）h（x）-|x-2|≤n對任意的x＞0恒成立，等價于-n≤（|x-2|+|x-3|）_min對任意的x＞0，由此能求出實數(shù)n的最小值．
（2）推導出g（x）=f（x）-|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{x}+x=2，0＜x＜3}\\{x+3，x≥3}\end{array}\right.$，由此能求出數(shù)g（x）=f（x）+h（x）的值域．

解答 解：（1）∵h（x）-|x-2|≤n對任意的x＞0恒成立，等價于-|x-3|-|x-2|≤n對任意的x＞0恒成立，
等價于-n≤（|x-2|+|x-3|）_min對任意的x＞0．（2分）
因為|x-2|+|x-3|≥|x-2-（x-3）|=1，當且僅當x∈[2，3]時取等號，所以-n≤1，得n≥-1．
所以實數(shù)n的最小值為-1．（5分）
（2）因為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{x}+5，0＜x＜3}\\{2x，x≥3}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）+h（x），
所以g（x）=f（x）-|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{x}+x=2，0＜x＜3}\\{x+3，x≥3}\end{array}\right.$，（7分）
當0＜x＜3時，$\frac{3}{x}+x+2≥2\sqrt{\frac{3}{x}•x}+2$=2$\sqrt{3}$+2，
當x≥3時，x+3≥6．
綜上，g（x）≥2$\sqrt{3}$+2．
所以函數(shù)g（x）=f（x）+h（x）的值域為[2$\sqrt{3}$+2，+∞）．（10分）

點評 本題考查實數(shù)的最小值的求法，考查函數(shù)的值域的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，是中檔題．