3.已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N兩點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)求證:$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為定值.

分析 (1)由題意過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線的方程為y=kx+1,代入圓C的方程得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,利用根的差別式能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),$\overrightarrow{AM}$=(x1,y1-1),$\overrightarrow{AN}$=(x2,y2-1),利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積能證明$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為定值.

解答 解:(1)由題意過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線的方程為y=kx+1,
代入圓C的方程得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
∵直線與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N兩點(diǎn).
∴△=[-4(1+k)]2-4×7×(1+k2)>0,
解得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}<k<\frac{4+\sqrt{7}}{3}$,
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍($\frac{4-\sqrt{7}}{3}$,$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$).
證明:(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),$\overrightarrow{AM}$=(x1,y1-1),$\overrightarrow{AN}$=(x2,y2-1),
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4(1+k)}{1+{k}^{2}}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{7}{1+{k}^{2}}$,
y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=$\frac{4k(1+k)}{1+{k}^{2}}$+2,
y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=(x1,y1-1)•(x2,y2-1)
=1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1
=${x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$
=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$+$\frac{7{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$
=7.
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為定值.

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查直線方程、圓、根的判別式、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

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