Question

3．已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）求證：$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線的方程為y=kx+1，代入圓C的方程得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，利用根的差別式能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），$\overrightarrow{AM}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{AN}$=（x₂，y₂-1），利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積能證明$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為定值．

解答 解：（1）由題意過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線的方程為y=kx+1，
代入圓C的方程得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∵直線與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N兩點(diǎn)．
∴△=[-4（1+k）]²-4×7×（1+k²）＞0，
解得$\frac{4-\sqrt{7}}{3}＜k＜\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）．
證明：（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），$\overrightarrow{AM}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{AN}$=（x₂，y₂-1），
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
y₁+y₂=（kx₁+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+2=$\frac{4k（1+k）}{1+{k}^{2}}$+2，
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）
=₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=${x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$
=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$+$\frac{7{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$
=7．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為定值．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查直線方程、圓、根的判別式、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．