Question

證明：
（1）tan

α

2

=

sinα

1+cosα

=

1-cosα

sinα

．
（2）sinαcosβ=

1

2

[sin(α+β)+sin(α-β)]．
（3）cosα+cosβ=2cos

α+β

2

cos

α-β

2

．

Answer 1

考點：三角函數的和差化積公式

專題：三角函數的求值

分析：（1）利用三角函數的倍角公式從等式的右邊入手證明；
（2）利用兩角和差的三角函數公式從右邊入手證明；
（3）利用角的等價變換，其中α=

α+β

2

+

α-β

2

，β=

α+β

2

-

α-β

2

，然后利用兩角和與差的三角函數公式展開整理可得．

解答： 證明：（1）

sinα

1+cosα

=

2sin α 2 cos α 2

2cos2 α 2

=tan

α

2

；

1-cosα

sinα

=

2sin2 α 2

2sin α 2 cos α 2

=tan

α

2

；
所以tan

α

2

=

sinα

1+cosα

=

1-cosα

sinα

．
（2）右邊=

1

2

[sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ]=

1

2

×2sinαcosβ=sinαcosβ=右邊；
（3）因為α=

α+β

2

+

α-β

2

，β=

α+β

2

-

α-β

2

，
所以左邊=cos（

α+β

2

+

α-β

2

）+cos（

α+β

2

-

α-β

2

）=cos

α+β

2

cos

α-β

2

-sin

α+β

2

sin

α-β

2

+cos

α+β

2

cos

α-β

2

+sin

α+β

2

sin

α-β

2

=2cos

α+β

2

cos

α-β

2

=右邊．

點評：本題考查了三角恒等式的證明，用到了倍角公式、兩角和與差的三角函數公式以及角的等價變換，屬于基礎題．