分析 取雙曲線的右焦點F2,連接CF2,延長交雙曲線于D,連接AF2,DF1,由平面幾何的性質(zhì)可得四邊形F1AF2C為矩形,設(shè)|CF1|=2|BF1|=2m,運用雙曲線的定義和對稱性,結(jié)合勾股定理,化簡可得3m=4a,代入方程結(jié)合離心率公式,即可得到所求.
解答 解:取雙曲線的右焦點F2,連接CF2,延長交雙曲線于D,
連接AF2,DF1,
由|OA|=|OF1|=|OC|=|OF2|=c,
可得四邊形F1AF2C為矩形,
設(shè)|CF1|=2|BF1|=2m,
由對稱性可得|DF2|=m,|AF1|=√4c2−4m2,
即有|CF2|=√4c2−4m2,
由雙曲線的定義可得2a=|CF1|-|CF2|=2m-√4c2−4m2,①
在直角三角形DCF1中,|DC|=m+√4c2−4m2,|CF1|=2m,
|DF1|=2a+m,
可得(2a+m)2=(2m)2+(m+√4c2−4m2)2,②
由①②可得3m=4a,即m=4a3,
代入①可得,2a=8a3-√4c2−64a29,
化簡可得c2=179a2,
即有e=ca=√173.
故答案為:√173.
點評 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運用雙曲線的定義和平面幾何的性質(zhì),主要是勾股定理的運用,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
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A. | π | B. | \frac{π}{2} | C. | \frac{π}{3} | D. | \frac{π}{4} |
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A. | 2-i | B. | 2+i | C. | 4-i | D. | 4+i |
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A. | \frac{1}{2} | B. | \frac{{\sqrt{2}}}{2} | C. | \frac{{\sqrt{3}}}{3} | D. | \frac{{\sqrt{3}}}{2} |
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A. | -6 | B. | -2 | C. | -1 | D. | 3 |
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