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1.如圖,過雙曲線x2a2-y22=1(a,b>0)左焦點F1的直線交雙曲線左支于A,B兩點,C是雙曲線右支上一點,且A,C在x軸的異側(cè),若滿足|OA|=|OF1|=|OC|,|CF1|=2|BF1|,則雙曲線的離心率為173

分析 取雙曲線的右焦點F2,連接CF2,延長交雙曲線于D,連接AF2,DF1,由平面幾何的性質(zhì)可得四邊形F1AF2C為矩形,設(shè)|CF1|=2|BF1|=2m,運用雙曲線的定義和對稱性,結(jié)合勾股定理,化簡可得3m=4a,代入方程結(jié)合離心率公式,即可得到所求.

解答 解:取雙曲線的右焦點F2,連接CF2,延長交雙曲線于D,
連接AF2,DF1,
由|OA|=|OF1|=|OC|=|OF2|=c,
可得四邊形F1AF2C為矩形,
設(shè)|CF1|=2|BF1|=2m,
由對稱性可得|DF2|=m,|AF1|=4c24m2,
即有|CF2|=4c24m2,
由雙曲線的定義可得2a=|CF1|-|CF2|=2m-4c24m2,①
在直角三角形DCF1中,|DC|=m+4c24m2,|CF1|=2m,
|DF1|=2a+m,
可得(2a+m)2=(2m)2+(m+4c24m22,②
由①②可得3m=4a,即m=4a3
代入①可得,2a=8a3-4c264a29,
化簡可得c2=179a2,
即有e=ca=173
故答案為:173

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運用雙曲線的定義和平面幾何的性質(zhì),主要是勾股定理的運用,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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