Question

6．已知cosα-sinα=$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$）．
（1）求sinαcosα的值；
（2）求$\frac{cos2α}{cos（\frac{π}{4}+α）}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數的基本關系，求得sinαcosα的值．
（2）利用同角三角函數的基本關系求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公公式、兩角和差的余弦公式求得$\frac{cos2α}{cos（\frac{π}{4}+α）}$的值

解答 解：（1）∵cosα-sinα=$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$），平方可得1-2sinαcosα=$\frac{50}{169}$，∴sinαcosα=$\frac{119}{338}$．
（2）sinα+cosα=$\sqrt{{（sinα+cosα）}^{2}}$=$\sqrt{1+2sinαcosα}$=$\frac{12\sqrt{2}}{13}$，
∴$\frac{cos2α}{cos（\frac{π}{4}+α）}$=$\frac{（cosα-sinα）•（cosα+sinα）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（cosα-sinα）}$=$\sqrt{2}$（cosα+sinα）=$\frac{24}{13}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系、兩角和差的余弦公式的應用，屬于基礎題．