Question

18．已知橢圓C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線$\sqrt{3}x-2y-4\sqrt{3}=0$過(guò)它的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（-4，0），過(guò)R（3，0）作與x軸不重合的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接AP，AQ，分別交直線$x=\frac{16}{3}$于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)直線MR，NR的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分別求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求得橢圓焦點(diǎn)在x軸上，求得橢圓的方程；
（2）求得直線方程，代入橢圓方程，由分別求得M和N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率公式即可求得直線MR，NR的斜率之積為定值．

解答 解：（1）由直線$\sqrt{3}x-2y-4\sqrt{3}=0$過(guò)它的兩個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)x=0，y=-2$\sqrt{3}$，當(dāng)y=0，x=4，
則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，a=4，b=2$\sqrt{3}$，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；…（4分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由于PQ與x軸不重合，
不妨設(shè)直線PQ：x=my+3，
聯(lián)立直線與曲線方程可得（3m²+4）y²+18my-21=0，
則有${y_1}+{y_2}=\frac{-18m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}•{y_2}=\frac{-21}{{3{m^2}+4}}$，
∵A，M，P三點(diǎn)共線，
∴$\frac{y_M}{{\frac{16}{3}+4}}=\frac{y_1}{{{x_1}+4}}$，則${y_M}=\frac{28}{3}\frac{y_1}{{{x_1}+4}}$，
同理${y_N}=\frac{28}{3}\frac{y_2}{{{x_2}+4}}$，
∴${k_{MR}}•{k_{NR}}=\frac{y_M}{{\frac{16}{3}-3}}•\frac{y_N}{{\frac{16}{3}-3}}=\frac{{9{y_M}•{y_N}}}{49}=\frac{{16{y_1}{y_2}}}{{（{{x_1}+4}）（{{x_2}+4}）}}=-\frac{12}{7}$，
直線MR，NR的斜率之積是定值-$\frac{12}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．