Question

15．已知a=${∫}_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}$2cos（x-$\frac{π}{4}$）dx，則（x-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式中x³的系數(shù)為60．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分求出a的值，再根據(jù)二項(xiàng)式的通向公式求得結(jié)果．

解答 解：a=${∫}_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}$2cos（x-$\frac{π}{4}$）dx=2sin（x-$\frac{π}{4}$）|${\;}_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}$=2[sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）-sin（-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）]=2，
∴（x-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的通項(xiàng)為C₆^r（-2）^rx${\;}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=3，解得r=2，
∴展開式中x³的系數(shù)為C₆²（-2）²=60
故答案為：60

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．