Question

5．設(shè)函數(shù)$f（x）=tan\frac{x}{4}•{cos^2}\frac{x}{4}-2{cos^2}（{\frac{x}{4}+\frac{π}{12}}）+1$．
（Ⅰ）求f（x）的定義域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-π，0]上的最值．

Answer 1

分析 （1）先將函數(shù)化簡(jiǎn)，再求f（x）的定義域及最小正周期；
（2）f（x）在區(qū)間[-π，0]的單調(diào)性，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出最值

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}-cos（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）$=$sin\frac{x}{2}-cos（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）=sin\frac{x}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}=\sqrt{3}sin（{\frac{x}{2}-\frac{π}{6}}）$，
由$\frac{x}{4}≠\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$得f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠2π+4kπ（k∈Z）}
故f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$，
（Ⅱ）∵-π≤x≤0，∴$-\frac{2π}{3}≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤-\frac{π}{6}$，
∴$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}∈[{-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{2}}]，即x∈[{-π，-\frac{2π}{3}}]，f（x）單調(diào)遞減$，
∴$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}}]，即x∈[{-\frac{2π}{3}，0}]，f（x）單調(diào)遞增$，
∴$f{（x）_{min}}=f（-\frac{2π}{3}）=-\sqrt{3}$，
∴$f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，f（-π）=-\frac{3}{2}$，
∴$f{（x）_{max}}=f（0）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．