Question

14．已知點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，1），Q（cosx，sinx），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{QP}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)x的值；
（2）若A為△ABC的內(nèi)角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)用求解，函數(shù)f（x）解析式，化解即可求函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)x的值．
（2）由f（A）=4，BC=3，余弦定理和△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$建立方程組，求解b，c的長(zhǎng)度可得△ABC的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，1），Q（cosx，sinx），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
$\overrightarrow{OP}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{QP}$=（$\sqrt{3}-$cosx，1-sinx）
∵函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{QP}$
∴f（x）=3-$\sqrt{3}$cosx+1-sinx=4-2sin（x+$\frac{π}{3}$）
∴當(dāng)x=$\frac{π}{6}+2kπ$，k∈Z時(shí)，f（x）取得最小值2；
（2）∵f（A）=4，即4-2sin（A+$\frac{π}{3}$）=4
可得：A+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．
0＜A＜π
∴A=$\frac{2π}{3}$．
又∵BC=3，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos$\frac{2π}{3}$，即9=（b+c）²-bc．
又∵△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
可得bc=3，
那么b+c=2$\sqrt{3}$
故得△ABC的周長(zhǎng)為：a+b+c=2$\sqrt{3}$+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理運(yùn)用能力與計(jì)算能力以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．