Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足：a_n•b_n=n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)λ為何值時，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列？并證此時數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列的前n項(xiàng)和求出首項(xiàng)，再由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證首項(xiàng)后得答案；
（Ⅱ）由a_n•b_n=n求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列求得λ值，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式證明數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜2．

解答 （Ⅰ）解：由S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=λ；
當(dāng)n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（n-1）•{2}^{n}-（n-2）•{2}^{n-1}=n•{2}^{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{λ（n=1）}\\{n•{2}^{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）證明：由a_n•b_n=n，有$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{λ}（n=1）}\\{（\frac{1}{2}）^{n-1}（n≥2）}\end{array}\right.$，
若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則首項(xiàng)為$_{1}=\frac{1}{λ}$滿足n≥2的情況，故λ=1，
則$_{1}+_{2}+…+_{n}=\frac{_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$＜2．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．