Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分別為PD、AC上的動點，且

DE

DP

=

AF

AC

=λ，（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）若λ=

1

2

，求證：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱錐E-FCD體積最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）分別取PA和AB中點M、N，連接MN、ME、NF，四邊形MEFN為平行四邊形．由此能證明EF∥平面PAB．
（Ⅱ）在平面PAD內作EH⊥AD于H，則EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．S△DFC=(1-λ)S△ADC=

1-λ

2

，由此能求出三棱錐E-FCD體積最大值．

解答： （Ⅰ）證明：分別取PA和AB中點M、N，
連接MN、ME、NF，則NF

∥

.

1

2

AD，ME

∥

.

1

2

AD，
所以NF

∥

.

ME，∴四邊形MEFN為平行四邊形．
∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：在平面PAD內作EH⊥AD于H，
因為側棱PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，
所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA．
因為

DE

DP

=λ（0＜λ＜1），所以

EH

PA

=λ，EH=λPA=λ．

S△DFC

S△ADC

=

CF

CA

=1-λ，S△DFC=(1-λ)S△ADC=

1-λ

2

，
V_E-DFC=

1

3

×

1-λ

2

×λ=

λ-λ2

6

=

-(λ- 1 2 )2+ 1 4

6

≤

1

24

，（0＜λ＜1），
∴三棱錐E-FCD體積最大值

1

24

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．