Question

【題目】已知圓A：（x+1）2+y2＝16，圓C過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與圓A相切，設(shè)圓心C的軌跡為曲線(xiàn)E．

（Ⅰ）求曲線(xiàn)E的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與E交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由題意畫(huà)出圖形，根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)求出a，b，則橢圓方程可求；

（Ⅱ）求出兩直線(xiàn)垂直于坐標(biāo)軸時(shí)的值，當(dāng)兩直線(xiàn)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l1：y＝k（x﹣1），則l2：y，分別求出|MN|，|PQ|的值，可得關(guān)于k的函數(shù)，利用配方法求值域．

（Ⅰ）圓A：（x+1）2+y2＝16的圓心A（﹣1，0），半徑r＝4，如圖，

由圖可知，|CA|+|CB|＝r＝4，

∴圓心C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且c＝1，2a＝4，a＝2．

∴b．

則曲線(xiàn)E的方程為；

（Ⅱ）如圖，當(dāng)l1⊥x軸，l2⊥y軸時(shí)，；

當(dāng)l1⊥y軸，l2⊥x軸時(shí)，；

當(dāng)兩直線(xiàn)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l1：y＝k（x﹣1），

則l2：y．

聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

則，，

∴|MN||x1﹣x2|

．

圓心A到直線(xiàn)x+ky﹣1＝0的距離d，

則|PQ|＝2．

∴．

∵k2+1＞1，∴，則，

∴∈（），

綜上，的取值范圍為[]．