Question

11．直線x=a分別與曲線y=2（x+1），y=x+lnx交于A、B兩點，則|AB|的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設A（x₁，a），B（x₂，a），則2（x₁+1）=x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|AB|，利用導數求出|AB|的最小值．

解答 解：設A（x₁，a），B（x₂，a），則2（x₁+1）=x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+lnx₂）-1，
∴|AB|=x₂-x₁=$\frac{1}{2}$（x₂-lnx₂）+1，
令y=$\frac{1}{2}$（x-lnx）+1，則y′=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{x}$），
∴函數在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴x=1時，函數的最小值為$\frac{3}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確求導確定函數的單調性是關鍵．