Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{ax+1-4a，}&{x＜1}\\{{x^2}-3ax，}&{x≥1}\end{array}}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，+∞）∪（-∞，0]．

Answer 1

分析 由題意可得，在定義域內(nèi)，函數(shù)f（x）不是單調(diào)的，考慮x≥1時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．

解答 解：依題意，在定義域內(nèi)，函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，分情況討論：
①當(dāng)x≥1時(shí)，若f（x）=x² -3ax 不是單調(diào)的，它的對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{3}{2}$a，則有$\frac{3}{2}$a＞1，
解得a＞$\frac{2}{3}$；
②當(dāng)x≥1時(shí)，若f（x）=x² -3ax 是單調(diào)的，則f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)$\frac{3}{2}$a≤1，即a≤$\frac{2}{3}$．
當(dāng)x＜1時(shí)，由題意可得f（x）=ax+1-4a應(yīng)該不單調(diào)遞增，故有a≤0．
綜合得：a的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，+∞）∪（-∞，0]．
故答案為：（$\frac{2}{3}$，+∞）∪（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．