Question

如圖，實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點(diǎn)P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地．

（1）如圖甲，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為△RST，求場(chǎng)地的最大面積；

（2）如圖乙，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABCD，求場(chǎng)地的最大面積．

 

Answer 1

【解】（1）如右圖，過S作SH⊥RT于H，

S_△RST=．　　　　　　　　 ……………………2分

由題意，△RST在月牙形公園里，

RT與圓Q只能相切或相離；　　　　　　　　　　　 ……………………4分

RT左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的弓形，

則有RT≤4，SH≤2，

當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時(shí)（如下左圖），上面兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立． 此時(shí)，場(chǎng)地面積的最大值為S_△RST==4（km²）．　　 ……………………6分

（2）同(1)的分析，要使得場(chǎng)地面積最大，AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過半圓的弓形，

AD必須切圓Q于P，再設(shè)∠BPA=，則有

．

　　　　　　　　　　　　　 ……………………8分

令，則

．　　 ………………… 11分

若，，

又時(shí)，，時(shí)，，　　　　　　 …………………14分

函數(shù)在處取到極大值也是最大值，

故時(shí)，場(chǎng)地面積取得最大值為（km²）．　　　　　 …………………16分