Question

如圖，實線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點P在圓Q上，現要在公園內建一塊頂點都在圓P上的多邊形活動場地．

（1）如圖甲，要建的活動場地為△RST，求場地的最大面積；
（2）如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形ABCD，求場地的最大面積．

Answer 1

分析：（1）先過S作SH⊥RT于H，則有：S_△RST=

1

2

SH•RT，由題意知：△RST在月牙形公園里，RT與圓Q只能相切或相離，RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，建立不等關系：RT≤4，SH≤2，當且僅當RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立．從而得出場地面積的最大值即可；
（2）同（1）的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，AD必須切圓Q于P，再設∠BPA=θ，寫出等腰梯形ABCD面積的表達式，再利用導數求得其極大值也是最大值即可．

解答：解：（1）如下右圖，
過S作SH⊥RT于H，
S_△RST=

1

2

SH•RT．（2分）
由題意，△RST在月牙形公園里，
RT與圓Q只能相切或相離；（4分）
RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，
則有RT≤4，SH≤2，
當且僅當RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立．
此時，場地面積的最大值為S_△RST=

1

2

×4×2=4（km²）．（6分）
甲圖乙圖
（2）同（1）的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，
AD必須切圓Q于P，再設∠BPA=θ，則
S_ABCD=

1

2

（AD+BC）×2sinθ=

1

2

（4+2×2cosθ）×2sinθ．
=4（sinθ+sinθcosθ）…（8分）
令y=sinθ+sinθcosθ，則
y'=cosθ+cosθcosθ+sinθ（-sinθ）=2cos²θ+cosθ-1．（11分）
若y'=0，cosθ=

1

2

，θ=

π

3

，
又θ∈(0，  

π

3

)時，y'＞0，θ∈(

π

3

，  

π

2

)時，y'＜0，（14分）
函數y=sinθ+sinθcosθ在θ=

π

3

處取到極大值也是最大值，
故θ=

π

3

時，場地面積取得最大值為3

3

（km²）．（16分）

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型．解題的關鍵是利用三角函數這個數學模型，建立函數關系式，最后利用導數知識求最值．