Question

7．求函數(shù)y=3${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 令t=-x²+2x+3，求出該二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值，然后結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y=3${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的值域和單調(diào)區(qū)間．

解答 解：令t=-x²+2x+3，
其對稱軸方程為x=1，且開口向下，
∴內(nèi)函數(shù)t=-x²+2x+3在（-∞，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)．
且最大值為-1²+2×1+3=4．
而外函數(shù)y=3^t為定義域內(nèi)的增函數(shù)，
由復合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)y=3${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的值域為：（0，81]；
單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），減區(qū)間為（1，+∞）．

點評 本題主要考查了復合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．對應復合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關系進行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．