Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1（a∈R）．
（1）若f（x）在[0，2]上的最小值為1，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0；
（3）若關(guān)于x的方程f（f（x）-1）+f（x）=0無實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用（x）=x²+ax+1≥1在（0，2]上恒成立，化簡求解即可．
（2）通過x²+ax+1≥0，當△≤0與△＞0，推出a，然后求解不等式即可．
（3）化簡f（f（x）-1）+f（x）=0，推出（x²+ax）²+（a+1）（x²+ax）+2=0，
通過△=（a+1）²-8＜0，當△=（a+1）²-8＞0，推出$\left\{{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}-1≤a＜1+\sqrt{3}}\\{{a^4}-4{a^3}-4{a^2}+32＞0}\end{array}}\right.$，令h（a）=a⁴-4a³-4a²+32，通過h（2）=0，導(dǎo)函數(shù)h'（a）=4a³-12a²-8a=4a（a²-3a-2），利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解a的范圍．

解答 解：（1）因為f（0）=1，所以f（x）=x²+ax+1≥1在（0，2]上恒成立，
所以x²+ax≥0，a≥-x，a≥0…（3分）
（2）f（x）=x²+ax+1≥0，當△≤0，即-2≤a≤2，x∈R…（5分）
當△＞0，即a＞2或a＜-2，$x∈（{-∞，\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-1}}}{2}}]∪[{\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-1}}}{2}，+∞}）$…（8分）
（3）f（f（x）-1）+f（x）=0，
即（x²+ax）²+a（x²+ax）+1+x²+ax+1=（x²+ax）²+（a+1）（x²+ax）+2=0，
當△=（a+1）²-8＜0，即$-2\sqrt{2}-1＜a＜2\sqrt{2}-1$，成立…（10分）
當△=（a+1）²-8＞0，即$a≤-2\sqrt{2}-1，a≥2\sqrt{2}-1$，$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{a+1}{2}＜-\frac{a^2}{4}}\\{f（{-\frac{a^2}{4}}）＞0}\end{array}}\right.$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}-1≤a＜1+\sqrt{3}}\\{{a^4}-4{a^3}-4{a^2}+32＞0}\end{array}}\right.$…（12分）
令h（a）=a⁴-4a³-4a²+32，h（2）=0，h'（a）=4a³-12a²-8a=4a（a²-3a-2），
所以$h'（{2\sqrt{2}-1}）=4（{2\sqrt{2}-1}）（{{{（{2\sqrt{2}-1}）}^2}-3（{2\sqrt{2}-1}）-2}）=4（{2\sqrt{2}-1}）（{10-10\sqrt{2}}）＜0$$h'（{1+\sqrt{3}}）=4（{1+\sqrt{3}}）（{{{（{1+\sqrt{3}}）}^2}-3（{1+\sqrt{3}}）-2}）=4（{1+\sqrt{3}}）（{-1-\sqrt{3}}）＜0$，
所以h'（a）＜0在$2\sqrt{2}-1＜a＜1+\sqrt{3}$恒成立，
所以h（a）單調(diào)遞減，所以$2\sqrt{2}-1≤a＜2$，
綜上，$-2\sqrt{2}-1＜a＜2$…（16分）

點評 本題考查函數(shù)與對數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造法以及二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．