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18.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1(a∈R).
(1)若f(x)在[0,2]上的最小值為1,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)解關(guān)于x的不等式f(x)≥0;
(3)若關(guān)于x的方程f(f(x)-1)+f(x)=0無實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)利用(x)=x2+ax+1≥1在(0,2]上恒成立,化簡求解即可.
(2)通過x2+ax+1≥0,當△≤0與△>0,推出a,然后求解不等式即可.
(3)化簡f(f(x)-1)+f(x)=0,推出(x2+ax)2+(a+1)(x2+ax)+2=0,
通過△=(a+1)2-8<0,當△=(a+1)2-8>0,推出{221a1+3a44a34a2+320,令h(a)=a4-4a3-4a2+32,通過h(2)=0,導(dǎo)函數(shù)h'(a)=4a3-12a2-8a=4a(a2-3a-2),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后求解a的范圍.

解答 解:(1)因為f(0)=1,所以f(x)=x2+ax+1≥1在(0,2]上恒成立,
所以x2+ax≥0,a≥-x,a≥0…(3分)
(2)f(x)=x2+ax+1≥0,當△≤0,即-2≤a≤2,x∈R…(5分)
當△>0,即a>2或a<-2,xaa212][a+a212+…(8分)
(3)f(f(x)-1)+f(x)=0,
即(x2+ax)2+a(x2+ax)+1+x2+ax+1=(x2+ax)2+(a+1)(x2+ax)+2=0,
當△=(a+1)2-8<0,即221a221,成立…(10分)
當△=(a+1)2-8>0,即a221a221,{a+12a24fa240
所以{221a1+3a44a34a2+320…(12分)
令h(a)=a4-4a3-4a2+32,h(2)=0,h'(a)=4a3-12a2-8a=4a(a2-3a-2),
所以h221=4221221232212=4221101020h1+3=41+31+3231+32=41+3130,
所以h'(a)<0在221a1+3恒成立,
所以h(a)單調(diào)遞減,所以221a2,
綜上,221a2…(16分)

點評 本題考查函數(shù)與對數(shù)的應(yīng)用,構(gòu)造法以及二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

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