Question

8．已知函數(shù)f（x）=klnx+1（k∈R），函數(shù)g（x）=f（x²-4x+5），若存在實(shí)數(shù)k使得關(guān)于x的方程g（x）+sin$\frac{π}{4}$x=0有且只有6個實(shí)數(shù)根，則這6個根的和為（　�。�

• A． 3π
• B． 6
• C． 12
• D． 12π

Answer 1

分析 根據(jù)條件，先判斷g（x）關(guān)于x=2對稱，然后利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)問題進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵y=x²-4x+5的對稱軸為x=2，
∴由g（x）=f（x²-4x+5），得g（x）關(guān)于x=2對稱，
由g（x）+sin$\frac{π}{4}$x=0得g（x）=-sin$\frac{π}{4}$x，
作出函數(shù)y=-sin$\frac{π}{4}$x的圖象，
若程g（x）+sin$\frac{π}{4}$x=0只有6個根，
則六個根兩兩關(guān)于x=2對稱，
則關(guān)于對稱的根分別為x₁和x₂，x₃和x₄，x₅和x₆，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=2，$\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}$=2
則x₁+x₂=4，x₃+x₄=4，x₅+x₆=4
則這6個根之和為4+4+4=12，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查根的個數(shù)的判斷，根據(jù)條件判斷兩個函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．