Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-m|．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時，解不等式f（x）+f（2x）＞1；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x≥1時，f（x）+f（-$\frac{1}{2x}}$）≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)m=1時，把要解不等式f（x）+f（2x）＞1等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）證明：當(dāng)x≥1時，利用絕對值三角不等式求得f（x）+f（-$\frac{1}{2x}}$）≥x+$\frac{1}{2x}$，再根據(jù)h（x）=x+$\frac{1}{2x}$ 在[1，+∞）上單調(diào)遞增，可得h（x）≥h（1），從而證得不等式成立．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=1時，不等式f（x）+f（2x）＞1，即|x-m|+|2x-2m|＞1．
令m（x）=|x-m|+|2x-2m|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2，x＜\frac{1}{2}}\\{x，\frac{1}{2}≤x＜1}\\{3x-2，x≥1}\end{array}\right.$，則不等式即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2＞1}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{\frac{1}{2}≤x＜1}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{3x-2＞1}\\{x≥1}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜$\frac{1}{3}$，解②求得 x∈∅，解③求得x＞1．
綜上可得，原不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{3}$，或x＞1 }．
證明：（Ⅱ）當(dāng)x≥1時，f（x）+f（-$\frac{1}{2x}}$）=|x-m|+|-m-$\frac{1}{2x}$|≥|x-m+m+$\frac{1}{2x}$|=|x+$\frac{1}{2x}$|=x+$\frac{1}{2x}$．
由于h（x）=x+$\frac{1}{2x}$ 在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）+f（-$\frac{1}{2x}}$）≥$\frac{3}{2}$ 成立．

點(diǎn)評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值三角不等式，屬于中檔題．