Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的下方.

①求的取值范圍；

②求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，無極小值；（2）①；②見解析.

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系可求，然后結(jié)合單調(diào)性可求極值；

（2）①由已知可得對(duì)任意的恒成立，分離參數(shù)后通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)函數(shù)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求；

②結(jié)合①可得對(duì)任意的恒成立，賦值，可得，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求．

（1），，

由已知可得，解得.

則，，其中.

令，得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

所以，函數(shù)的極大值為，無極小值；

（2）①由條件知，只需，即對(duì)任意的恒成立，

即，其中，

令，則，即，

構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，列表如下：

		極大值

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

所以，，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

②由①可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

令，則，

所以，

所以.