Question

15．如圖，在邊長為60cm的正方形的四個角除去邊長相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長（　　）時，箱子容積最大．

• A． 10cm
• B． 20cm
• C． 30cm
• D． 40cm

Answer 1

分析 先設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高h=$\frac{60-x}{2}$cm，得箱子容積，再利用導(dǎo)數(shù)的方法解決，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．

解答 解：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高h=$\frac{60-x}{2}$cm，得箱子容積V=$\frac{60{x}^{2}-{x}^{3}}{2}$（0＜x＜60）．
V′=60x-$\frac{3{x}^{2}}{2}$（0＜x＜60）
令V′=60x-$\frac{3{x}^{2}}{2}$=0，
解得  x=0（舍去），x=40，
∵x∈（0，40）時，V′（x）＞0；x∈（40，60）時，V′（x）＜0
∴V（x）在區(qū)間（0，40）上為增函數(shù)，區(qū)間（40，60）上為減函數(shù)
由此可得V（x）的最大值是V（40）=16000cm³．
故選D．

點評 本題以一個實際問題為例，求箱子的容積最大值．著重考查了函數(shù)模型及其應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求最值等知識，屬于中檔題．