Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+m}{{e}^{x}}$（m為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求m的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f′（1）=0，則m值可求；
（2）求出函數(shù)的定義域，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于0求出極值點，借助于導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+m}{{e}^{x}}$，
所以f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-m}{{e}^{x}}$，
因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，
所以f′（1）=0，即 $\frac{1-ln1-m}{e}$=0，解得m=1；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
由f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，此函數(shù)只有一個零點1，
且當(dāng)x＞1時，g（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＞0，
所以當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，所以原函數(shù)在（1，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，所以原函數(shù)在（0，1）上為增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．