Question

給定兩個(gè)命題：P：關(guān)于x的方程x²+2ax+a+2=0有實(shí)數(shù)根；Q：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立．
（1）若命題P為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題P，Q中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,復(fù)合命題的真假

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）命題：P：關(guān)于x的方程x²+2ax+a+2=0有實(shí)數(shù)根，即△≥0；
（2）P真Q假或P假Q(mào)真．

解答： 解：（1）若命題：P：關(guān)于x的方程x²+2ax+a+2=0有實(shí)數(shù)根為真，
則△=（2a）²-4（a+2）≥0，
解得a≤-1或a≥2；
（2）由（1）得P真時(shí)：a≤-1或a≥2；
Q：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立，
Q為真時(shí)，

a＞0 △=a2-4a＜0

，
解得：0a＜4，
∴當(dāng)P真Q假時(shí)

a≤-1或a≥2 a≤0或a≥4

，即a≤-1或a≥4；
當(dāng)P假Q(mào)真時(shí)

-1＜a＜2 a≤0或a≥4

，即-1＜a≤0，
綜上：命題P，Q中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí)，a≤0或a≥4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷．