Question

5．已知四邊形PQRS是圓內(nèi)接四邊形，∠PSR=90°，過(guò)點(diǎn)Q作PR、PS的垂線，垂足分別為點(diǎn)H、K．
（1）求證：Q、H、K、P四點(diǎn)共圓；
（2）求證：QT=TS．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可看作以斜邊為直徑的圓上的三點(diǎn)即得結(jié)論；
（2）通過(guò)互補(bǔ)、同弧所對(duì)的圓周角相等，說(shuō)明△TSK、△TKQ為等腰三角形即可．

解答 證明：（1）∵過(guò)點(diǎn)Q作PR、PS的垂線，垂足分別為點(diǎn)H、K，
∴∠PHQ=∠PKQ=90°，
∴Q、H、K、P四點(diǎn)共圓；
（2）∵Q、H、K、P四點(diǎn)共圓，
∴∠HKS=$\frac{π}{2}$-∠HPQ=∠HQP，①
∵∠PSR=90°，PR為圓B的直徑，
∴∠PQR=90°，∠QRH=∠HQP，②
由①②得，∠QSP=∠HKS，
∴△TSK為等腰三角形，ST=TK，
又∵∠SKQ=90°，
∴∠SQK=∠TKQ，即△TKQ為等腰三角形，QT=TK，
∴QT=TS．

點(diǎn)評(píng) 本題考查綜合法在證明中的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．