Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，判斷是否是函數(shù)的極值點，并說明理由；

（2）當時，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）是函數(shù)的極大值點，理由詳見解析；（2）1.

【解析】

（1）將直接代入，對求導得，由于函數(shù)單調性不好判斷，故而構造函數(shù)，繼續(xù)求導，判斷導函數(shù)在左右兩邊的正負情況，最后得出，是函數(shù)的極大值點；

（2）利用題目已有條件得，再證明時，不等式 恒成立，即證，從而可知整數(shù)的最小值為1.

解:（1）當時，.

令，則

當時，.

即在內為減函數(shù)，且

∴當時，;當時，.

∴在內是增函數(shù)，在內是減函數(shù).

綜上，是函數(shù)的極大值點.

（2）由題意，得，即.

現(xiàn)證明當時，不等式成立，即.

即證

令

則

∴當時，;當時，.

∴在內單調遞增，在內單調遞減，

的最大值為.

∴當時，.

即當時，不等式成立.

綜上，整數(shù)的最小值為.