Question

18．已知關(guān)于x的方程$\frac{{x}^{2}+2}{x（lnx+k）+2k}$=1在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（1，$\frac{9+2ln2}{10}$]．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)方程得x²-xlnx+2=k（x+2），判斷左側(cè)函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷k的范圍．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}+2}{x（lnx+k）+2k}=1$得x²-xlnx+2=k（x+2），
令f（x）=x²-xlnx+2（x$≥\frac{1}{2}$），則f′（x）=2x-lnx-1，
f″（x）=2-$\frac{1}{x}$，∵x$≥\frac{1}{2}$，∴f″（x）≥0，
∴f′（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）≥f′（$\frac{1}{2}$）=-ln$\frac{1}{2}$＞0，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，
作出f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上的函數(shù)圖象如圖所示：

當(dāng)直線y=k（x+2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{9+2ln2}{4}$）時(shí)，k=$\frac{9+2ln2}{10}$，
當(dāng)直線y=k（x+2）與y=f（x）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k（{x}_{0}+2）}\\{{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}ln{x}_{0}+2}\\{2{x}_{0}-ln{x}_{0}-1=k}\end{array}\right.$，解得x₀=1，y₀=3，k=1．
∵方程$\frac{{x}^{2}+2}{x（lnx+k）+2k}$=1在x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴直線y=k（x+2）與y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴1＜k≤$\frac{9+2ln2}{10}$．
故答案為（1，$\frac{9+2ln2}{10}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．