Question

8．如圖，邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)，G為 BF、DE的交點(diǎn)，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$．
（1）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AG}$；
（2）求$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AG}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的加法以及三角形的重心坐標(biāo)關(guān)系推出結(jié)果即可．
（2）表示出向量，利用數(shù)量積化簡求解即可．

解答 解：（1）由題意若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$．
推出：$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow$，
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，
E、F分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為 BF、DE的交點(diǎn)，
所以G為△BCD的重心，∴$\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BF}$，
$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}（-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow$．…（3分）
（2）若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$．
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，
$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow$．
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AG}$=$（-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow）（\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow）$
=$-\frac{1}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{2}{3}{\overrightarrow}^{2}$
=$-\frac{1}{3}$$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos60°+\frac{2}{3}|\overrightarrow{|}^{2}$
=$-\frac{4}{3}+\frac{2}{3}+\frac{8}{3}$=2．…（6分）

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量在三角形中的應(yīng)用，考查計算能力．