Question

17．設(shè)D=$\sqrt{{{（{x-a}）}^2}+{{（{lnx-\frac{a^2}{4}}）}^2}}+\frac{a^2}{4}$+1．（a∈R），則D的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 S=（x-a）²+（lnx-$\frac{{a}^{2}}{4}$）²（a∈R），其幾何意義為兩點（x．lnx），（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$）的距離的平方，由y=lnx的導數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$，得k=$\frac{1}{{x}_{1}}$，由點（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$）在曲線y=$\frac{1}{4}$x²上，得k=$\frac{1}{2}$x₂，令f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，則D（x）=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）]^{2}}$+g（x₂）+1，而g（x₂）+1是拋物線y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$上的點到準線y=-1的距離，從而D可以看作拋物線上的點（x₂，g（x₂））到焦點距離和到f（x）=lnx上的點的距離的和，D的最小值是點F（0，1）到f（x）=lnx上的點的距離的最小值．

解答 解：S=（x-a）²+（lnx-$\frac{{a}^{2}}{4}$）²（a∈R），其幾何意義為：
兩點（x．lnx），（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$）的距離的平方，
由y=lnx的導數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$，∴k=$\frac{1}{{x}_{1}}$
點（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$）在曲線y=$\frac{1}{4}$x²上，
∴y′=$\frac{1}{2}$x，∴k=$\frac{1}{2}$x₂，
令f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，
則D（x）=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）]^{2}}$+g（x₂）+1，
而g（x₂）+1是拋物線y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$上的點到準線y=-1的距離，
即拋物線y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$上的點到焦點（0，1）的距離，
則D可以看作拋物線上的點（x₂，g（x₂））到焦點距離和到f（x）=lnx上的點的距離的和，
即|AF|+|AB|，
由兩點之間線段最短，得D的最小值是點F（0，1）到f（x）=lnx上的點的距離的最小值，
由點到直線上垂線段最短，這樣就最小，
即取B（x₀，lnx₀），
則${f}_{'}（{x}_{0}）•\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$=-1，垂直，
則$ln{x}_{0}-1=-{{x}_{0}}^{2}$，解得x₀=1，
∴F到B（1，0）的距離就是點F（0，1）到f（x）=lnx上的點的距離的最小值，
∴D的最小值為|DF|=$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查導數(shù)、拋物線、兩點間距離、點到直線距離等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．