Question

8．已知函數f（x）=mlnx，g（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞0）．
（Ⅰ）當m=1時，求曲線y=f（x）•g（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析 （I）利用導數的運算法則可得切線的斜率，利用點斜式即可得出．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{m}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，F′（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{m{x}^{2}+（2m-1）x+m}{x（x+1）^{2}}$，對m分類討論，利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當m=1時，曲線y=f（x）g（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$．
y′=$\frac{（1+lnx）（x+1）-xlnx}{（x+1）^{2}}$=$\frac{lnx+x+1}{（x+1）^{2}}$，…（2分）
x=1時，切線的斜率為$\frac{1}{2}$，又切線過點（1，0）．
所以切線方程為y=$\frac{1}{2}$（x-1），化為：x-2y-1=0．…（4分）
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{m}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，
F′（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{m{x}^{2}+（2m-1）x+m}{x（x+1）^{2}}$，
當m≤0時，F′（x）＜0，函數F（x）在（0，+∞）上單調遞減；…（6分）
當m＞0時，令k（x）=mx²+（2m-1）x+m，△=（2m-1）²-4m²=1-4m，
當△≤0時，即m≥$\frac{1}{4}$，k（x）≥0，
此時F′（x）≥0，函數F（x）在（0，+∞）上單調遞增；…（8分）
當△＞0時，即$0＜m＜\frac{1}{4}$，
方程mx²+（2m-1）x+m=0有兩個不等實根x₁＜x₂，（x₁=$\frac{（1-2m）-\sqrt{1-4m}}{2m}$，x₂=$\frac{1-2m+\sqrt{1-4m}}{2m}$）．
∴x₁+x₂=$\frac{1-2m}{m}$=$\frac{1}{m}$-2＞2，x₁•x₂=1，…（10分）
所以0＜x₁＜1＜x₂，
此時，函數F（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增；在（x₁，x₂）上單調遞減
綜上所述，當m≤0時，F（x）的單減區(qū)間是（0，+∞）；
當$0＜m＜\frac{1}{4}$時，F（x）的單減區(qū)間是（x₁，x₂），單增區(qū)間是（0，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增；
當$m≥\frac{1}{4}$時，F（x）單增區(qū)間是（0，+∞）．…（12分）

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性、切線的斜率、一元二次方程的實數根與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．