Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求證：在區(qū)間上有且僅有一個零點，且；

（2）若當時，不等式恒成立，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）利用求導數(shù)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，然后再證異號，即可證明結(jié)論；

（2）當時，不等式恒成立，分離參數(shù)只需時，恒成立，

設(shè)（），需，根據(jù)（1）中的結(jié)論先求出，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導數(shù)法，證明即可.

（1），

令，則，

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，

則，所以在區(qū)間上是增函數(shù).

又因為，

，

所以在區(qū)間上有且僅有一個零點，且.

（2）由題意，在區(qū)間上恒成立，

即在區(qū)間上恒成立，

當時，；

當時，恒成立，

設(shè)（），

所以.

由（1）可知，，使，

所以，當時，，當時，，

由此在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以.

又因為，

所以，從而，

所以.令，，

則，

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以，故.