Question

15．已知三棱錐O-ABC底面ABC的頂點(diǎn)在半徑為$\sqrt{2}$的球O表面上，且AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，則三棱錐O-ABC的體積為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由已知得OA=OB=OC=AB=AC=$\sqrt{2}$，∠BAC=∠BOC=90°，取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD，OD，則AD⊥BC，OD⊥BC，AD=OD=1從而OD⊥平面ABC，由此能求出三棱錐O-ABC的體積．

解答 解：∵三棱錐O-ABC底面ABC的頂點(diǎn)在半徑為$\sqrt{2}$的球O表面上，且AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，
∴OA=OB=OC=AB=AC=$\sqrt{2}$，
∴OC²+OB²=BC²，AB²+AC²=BC²，∴∠BAC=∠BOC=90°，
取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD，OD，則AD⊥BC，OD⊥BC，
AD=OD=$\sqrt{O{C}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2-1}$=1，∴AD²+OD²=AO²，
∴OD⊥AD，∵BC∩AD=D，∴OD⊥平面ABC，
∴三棱錐O-ABC的體積為：
V_O-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×OD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×AC×OD$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1=\frac{1}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想等，是中檔題．