Question

19．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，若2x+y≥m恒成立，則實數m的取值范圍是（-∞，8]，當m取到最大值時x=2．

Answer 1

分析 由x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，可得2x+y=（2x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$=4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$，利用基本不等式的性質即可得出最小值．由2x+y≥m恒成立，可得m≤（2x+y）_min．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，
∴2x+y=（2x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$=4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=8，當且僅當y=2x=4時取等號．
∵2x+y≥m恒成立，
∴m≤（2x+y）_min．
∴m≤8，當m取到最大值時x=2．
故答案分別為：（-∞，8]；2．

點評 本題考查了基本不等式的性質、“乘1法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．