Question

10．x≥0，y＞0，x+y≤2，則$\frac{4}{x+2y}$+$\frac{1}{2x+y}$最小值$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由條件可得[（x+2y）+（2x+y）]（$\frac{4}{x+2y}$+$\frac{1}{2x+y}$）=5+$\frac{4（2x+y）}{x+2y}$+$\frac{x+2y}{2x+y}$，運(yùn)用基本不等式和不等式的性質(zhì)，即可得到所求最小值．

解答 解：x≥0，y＞0，x+y≤2，可得
[（x+2y）+（2x+y）]（$\frac{4}{x+2y}$+$\frac{1}{2x+y}$）=5+$\frac{4（2x+y）}{x+2y}$+$\frac{x+2y}{2x+y}$
≥5+2$\sqrt{\frac{4（2x+y）}{x+2y}•\frac{x+2y}{2x+y}}$=9，
可得$\frac{4}{x+2y}$+$\frac{1}{2x+y}$≥$\frac{9}{（x+2y）+（2x+y）}$
=$\frac{9}{3（x+y）}$≥$\frac{3}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)2（2x+y）=x+2y，即x=0，y=2時(shí)，取得最小值$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意變形和基本不等式的運(yùn)用，以及不等式的性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．