Question

數列{a_n}滿足a₁=-

1

2

，2a_n=4a_n-1-3，
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）求數列的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：本題（Ⅰ）根據條件構造新數列，通過新數列的通項公式，求出數列{a_n}的通項公式；（Ⅱ）根據數列的通項公式，將原數列列轉化為一個常數數列和一個等比數列，求出數列的前n項和，得到本題結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵2a_n=4a_n-1-3，
∴an-

3

2

=2(an-1-

3

2

)．
∵a₁=-

1

2

，
∴a₁-

3

2

=-2．
∴數列{a_n-

3

2

}的首項為-2，公比為2的等比數列．
∴a_n-

3

2

=（-2）×2^n-1=-2ⁿ，
∴a_n=-2n+

3

2

．
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=-2n+

3

2

．
（Ⅱ）數列{a_n}的前n項和
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=(-2+

3

2

)+(-22+

3

2

)+(-23+

3

2

)+…+(-2n+

3

2

)
=-(2+22+23+…+2n)+

3

2

n
=-

2(1-2n)

1-2

+

3n

2

=-2n+1+

3

2

n+2．
∴數列{a_n}的前n項和S_n=-2n+1+

3

2

n+2．

點評：本題考查了構造新數列求通項以及求數列的前n項和，還考查了化歸轉化的數學思想，本題有一定的難度，屬于中檔題．