Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²e^x，其中a∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）對于區(qū)間（0，1）上任意一個實數(shù)a，是否存在x＞0，使得f（x）＞x+1？若存在，請求出符合條件的一個x，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，令g（x）=ax²+2ax-$\frac{1}{2}$，（x＞0），通過討論a的范圍，確定g（x）的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{{ax}^{2}}{2}$+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$-1＜0，只需要找一個x＞0使式子成立，只需找到函數(shù)t（x）=$\frac{{ax}^{2}}{2}$+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$-1的最小值，滿足t（x）_min＜0即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²e^x，
∴f′（x）=-$\frac{1}{2}$e^x（ax²+2ax-$\frac{1}{2}$），（x＞0），
令g（x）=ax²+2ax-$\frac{1}{2}$，（x＞0），
①a=0時，g（x）=-$\frac{1}{2}$，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）遞增；
②a≠0時，g（x）是二次函數(shù)，
△=4a²+2a，由△=0，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
a＞0時，拋物線開口向上，△＞0，解方程g（x）=0，
得：x₁=$\frac{-2a-\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$＜0（舍），x₂=$\frac{-2a+\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$＞0，
故g（x）＞0在（$\frac{-2a+\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$，+∞）恒成立，
即f′（x）＜0在（$\frac{-2a+\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，$\frac{-2a+\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$）遞增，在（$\frac{-2a+\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$，+∞）遞減；
a＜-$\frac{1}{2}$時，△＞0，拋物線開口向下，
，x₁=$\frac{-2a-\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$＜0（舍），x₂=$\frac{-2a+\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$＜0，（舍）
故g（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）遞增；
-$\frac{1}{2}$≤a＜0時，△≤0，
故g（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，+∞）遞增；
綜上，a＞0時，f（x）在（0，$\frac{-2a+\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$）遞增，在（$\frac{-2a+\sqrt{{4a}^{2}+2a}}{2a}$，+∞）遞減；
a＜0時，f（x）在（0，+∞）遞增．
（2）要使f（x）＞x+1成立，即e^x-$\frac{a}{2}$x²e^x＞x+1，
變形為$\frac{{ax}^{2}}{2}$+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$-1＜0，①
要找一個x＞0使①式成立，只需找到函數(shù)t（x）=$\frac{{ax}^{2}}{2}$+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$-1的最小值，滿足t（x）_min＜0即可．
∵t′（x）=x（a-$\frac{1}{{e}^{x}}$），
令t'（x）=0得e^x=$\frac{1}{a}$，則x=-lna，
在0＜x＜-lna時，t'（x）＜0，在x＞-lna時，t'（x）＞0，
即t（x）在（0，-lna）上是減函數(shù)，在（-lna，+∞）上是增函數(shù)，
∴當x=-lna時，t（x）取得最小值t（x）=$\frac{a}{2}$（lna）²+a（-lna+1）-1
下面只需證明：$\frac{a}{2}$（lna）²-alna+a-1＜0在0＜a＜1時成立即可．
又令p（a）=$\frac{a}{2}$（lna）²-alna+a-1，
則p′（a）=$\frac{1}{2}$（lna）²≥0，從而p（a）在（0，1）上是增函數(shù)，
則p（a）＜p（1）=0，從而$\frac{a}{2}$（lna）²-alna+a-1＜0，得證．
于是t（x）的最小值t（-lna）＜0，
因此可找到一個常數(shù)x=-lna（0＜a＜1），使得①式成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．