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14.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1=1,且a1,a2,a5成等比數(shù)列
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=1anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)設(shè)公差d不為零的等差數(shù)列{an},運(yùn)用等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,解方程可得d=2,進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式;
(2)求得bn=1anan+1=1212n1-12n+1),運(yùn)用數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,化簡計(jì)算即可得到所求和.

解答 解:(1)設(shè)公差d不為零的等差數(shù)列{an},
a1=1,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,
可得a22=a1a5
即為(1+d)2=1×(1+4d),
解得d=2,
則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1(n為正整數(shù));
(2)bn=1anan+1=12n12n+1=1212n1-12n+1),
即有前n項(xiàng)和Tn=b1+b2+…+bn
=12(1-13+13-15+…+12n1-12n+1
=12(1-12n+1)=n2n+1(n為正整數(shù)).

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,注意運(yùn)用等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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