Question

15．已知正△ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是（　�。�

• A． [0，6]
• B． [-2，6]
• C． [0，2]
• D． [-2，2]

Answer 1

分析 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$，代入數(shù)量積公式得到關(guān)于θ的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．

解答 解：以△ABC外接圓圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；
設(shè)A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），P（2cosθ，2sinθ）；
則$\overrightarrow{PA}$=（2cosθ-2，2sinθ），
$\overrightarrow{PB}$=（2cosθ+1，2sinθ-$\sqrt{3}$）；
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（2cosθ-2）（2cosθ+1）+2sinθ（2sinθ-$\sqrt{3}$）
=2-2cosθ-2$\sqrt{3}$sinθ
=2-4sin（θ+$\frac{π}{6}$）；
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-2≤$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤6，
即則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[-2，6]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算問題，也考查了轉(zhuǎn)化法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．