Question

6．關(guān)于x的方程$x={log_a}（-{x^2}+2x+a）$（a＞0，且a≠1）解的個數(shù)是（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． 0
• D． 不確定的

Answer 1

分析 由題意a^x=-x²+2x+a，-x²+2x+a＞0，令f（x）=a^x，g（x）=-x²+2x+a，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意a^x=-x²+2x+a，-x²+2x+a＞0．
令f（x）=a^x，g（x）=-x²+2x+a，
（1）當(dāng)a＞1時，
f（x）=a^x在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）=1，f（1）=a，
g（x）=-x²+2x+a在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞減，且g（0）=a，g（1）=1+a，
在[0，1]上，f（x）＜g（x），
∵g（x）在x＜0及x＞1時分別有一個零點(diǎn)，而f（x）恒大于零，
∴f（x）與g（x）的圖象在x＜0及x＞1時分別有一個交點(diǎn)，
∴方程有兩個解；
（2）當(dāng)a＜1時，
f（x）=a^x在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，且f（0）=1，f（1）=a，
g（x）=-x²+2x+a在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞減，且g（0）=a，g（1）=1+a，
f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），
∴在（0，1）上f（x）與g（x）有一個交點(diǎn)，
又g（x）在x＞1時有一個零點(diǎn)，而f（x）恒大于零，
∴f（x）與g（x）的圖象在x＞1時還有一個交點(diǎn)，
∴方程有兩個解．
綜上所述，方程有兩個解．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查根的存在性及個數(shù)的判斷，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．