如圖,在圓錐PO中,已知PO=,☉O的直徑AB=2,C是的中點,D為AC的中點.

求證:平面POD⊥平面PAC.

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解析【證明】如圖,以O(shè)為坐標原點,OB,OC,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,

則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D(-,,0).
設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一個法向量,則由n1·=0,n1·=0,
得
所以z1=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).
設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一個法向量,
則由n2·=0,
n2·=0,得
所以x2=-z2,y2=z2.
取z2=1,得n2=(-,,1).
因為n1·n2=(1,1,0)·(-,,1)=0,
所以n1⊥n2.
從而平面POD⊥平面PAC.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．

(1)證明：PF⊥FD；
(2)判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如圖2。

（1）求證：BC⊥平面A1DC；
（2）若CD=2，求BE與平面A1BC所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點，點在線段上且．

（1）求證：平面；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.

(1)當a=2時,求證:AO⊥平面BCD.
(2)當二面角A-BD-C的大小為120°時,求二面角A-BC-D的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖幾何體中,四邊形為矩形，，，，，為的中點，為線段上的一點，且.

（1）證明：面；
（2）證明：面面；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形，，底面，，為的中點，為的中點，于，如圖建立空間直角坐標系.

（1）求出平面的一個法向量并證明平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知四棱錐的底面是正方形，底面，是上的任意一點.

（1）求證：平面平面；
（2）當時，求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F(xiàn)為PC的中點，AF⊥PB.

(1)求PA的長；
(2)求二面角B-AF-D的正弦值．

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