Question

在△ABC中，

m

=（2sinA-sinC，cosC），

n

=（sinB，cosB），且

m

∥

n

．
（1）求∠B的大��；
（2）∠B的角平分線交AC于點D，記BC=x，BA=y，BD=1，請將y用含x的式子表示，并求出y的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,平行向量與共線向量

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先，根據(jù)

m

∥

n

得到cosB=

1

2

，從而求解B的值；
（2）首先，結(jié)合余弦定理，得到CD²=1+x²-2xcos30°=1+x²-

3

x，AD²=1+y²-2ycos30°=1+y2-

3

y，然后，根據(jù)內(nèi)角平分線定理，建立等式求解即可．

解答： 解：（1）∵

m

=（2sinA-sinC，cosC），

n

=（sinB，cosB），且

m

∥

n

．
∴（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，
∴2sinAcosB-（sinBcosC+cosBsinC）=0，
∴2sinAcosB-sin（B+C）=0，
∴2sinAcosB-sinA=0，
∴sinA（2cosB-1）=0，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

，
∴∠B的大小

π

3

．
（2）如下圖所示

在△BCD中，由余弦定理，得CD²=1+x²-2xcos30°=1+x²-

3

x，
在△ABD中，由余弦定理，得AD²=1+y²-2ycos30°=1+y2-

3

y，
根據(jù)內(nèi)角平分線定理，得

BC

BA

=

CD

DA

，
∴

BC2

BA2

=

CD2

DA2

，
∴

x2

y2

=

1+x2- 3 x

1+y2- 3 y

，
∴x2-y2=

3

xy(x-y)，
∴x-y=0或x+y=

3

xy，
當(dāng)x-y=0時，此時，x=y=

2 3

3

，
當(dāng)x+y=

3

xy時，
y=

x

3 x-1

=

3

3

+

1

x- 3

，
∴y≠

3

3

，y＞0，
∴y∈（0，

3

3

）∪（

3

3

，+∞）．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式、三角形的內(nèi)角平分線定理、余弦定理等知識，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出圖形．