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8.若函數(shù)fx=a1xx+1+lnx在定義域上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

分析 求出f′(x)=2ax+x+12xx+1≥0在定義域上恒成立,設(shè)g(x)=(x+1)2-2ax,由題意x>0,且g(x)≥0,g′(x)=2(x+1)-2a,當(dāng)x=a-1時(shí),g(x)取最小值,由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:∵函數(shù)fx=a1xx+1+lnx,
∴f′(x)=ax+1a1xx+12+1x
=2ax+x+12xx+1,x>0,
∵函數(shù)fx=a1xx+1+lnx在定義域上是增函數(shù),
∴f′(x)=2ax+x+12xx+1≥0在定義域上恒成立,
∵x>0,∴當(dāng)a<0時(shí),f′(x)=2ax+x+12xx+1≥0在定義域上恒成立,
當(dāng)a≥0時(shí),
設(shè)g(x)=(x+1)2-2ax,由題意x>0,且g(x)≥0,
g′(x)=2(x+1)-2a,
∵函數(shù)fx=a1xx+1+lnx在定義域上是增函數(shù),
∴當(dāng)x=a-1時(shí),g(x)取最小值,
則由g(a-1)=2a-a2≥0,得0≤a≤2.
綜上:a≤2.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].
故答案為:(-∞,2].

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運(yùn)用.

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