Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x+$\frac{4}{m}$|+|x-m|，（m＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）的最小值為5，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求使得不等式f（1）＞5成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：|a|+|b|≥|a-b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0取得等號(hào)，可得f（x）的最小值；
（2）求得f（1），討論當(dāng)1-m＜0，當(dāng)1-m≥0，去掉絕對(duì)值，解m的不等式，即可得到所求m的范圍．

解答 解：（1）由m＞0，有f（x）=|x+$\frac{4}{m}$|+|x-m|≥|x+$\frac{4}{m}$-（x-m）|
=|$\frac{4}{m}$+m|=$\frac{4}{m}$+m，
當(dāng)且僅當(dāng)（x+$\frac{4}{m}$）（x-m）≤0時(shí)，取等號(hào)，
所以f（x）的最小值為$\frac{4}{m}$+m，
由題意可得$\frac{4}{m}$+m=5，
解得m=1或4；
（2）f（1）=|1+$\frac{4}{m}$|+|1-m|（m＞0），
當(dāng)1-m＜0，即m＞1時(shí)，f（1）=1+$\frac{4}{m}$+（m-1）=$\frac{4}{m}$+m；
由f（1）＞5，得$\frac{4}{m}$+m＞5，
化簡(jiǎn)得m²-5m+4＞0，解得m＜1或m＞4，
所以m＞4；
當(dāng)1-m≥0，即0＜m≤1時(shí)，
f（1）=1+$\frac{4}{m}$+（1-m）=2+$\frac{4}{m}$-m，
由f（1）＞5，得2+$\frac{4}{m}$-m＞5，即m²+3m-4＜0，
解得-4＜m＜1，即為0＜m＜1．
綜上，當(dāng)f（1）＞5時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查分類討論的思想方法，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．