Question

M為△ABC內(nèi)一點，過點M的一直線交AB邊于P，交AC邊于點Q，則條件p：“”是條件q：“M點是△ABC的重心”成立的

1. A.
   充分而不必要條件
2. B.
   必要而不充分條件
3. C.
   充要條件
4. D.
   既不充分又不必要條件

Answer 1

C
分析：根據(jù)三角形中線段長度之間的等量關(guān)系判斷出條件p成立時，條件q也成立；反之通過三角形的重心滿足的性質(zhì)：到頂點距離等于到對邊中點的2倍判斷出條件q成立得到條件p成立，利用充要條件的定義加以判斷．
解答：①∵P為AB邊上（除A外）的任意一點所以當P與B重合時，
可得，
∴，
此時Q為AC邊中點，
即直線BM過AC邊中點．
同理，因為Q為AC邊上（除A外）的任意一點
∴當Q與C重合時，可得，
∴，此時P為AB邊中點，
即直線CM過AB邊中點
設(shè)D為AC邊中點，E為AB邊中點，連接ED，直線AM分別交ED、BC于G、F，
∵ED是△ABC的一條中位線，
∴
∵，
∴，
∴BF=FC
∵BF=FC，
∴F為BC邊上中點因為直線BM過AC邊中點D，直線CM過AB邊中點E，直線 AM過BC邊中點F
∴M為△ABC的重心．
②若已知M為重心，亦可求證：．
證明：作BF、CE平行于PQ，分別交AC、AB于F、E，
AM的延長分別交CE、BC、BF于G、D、H，
∵M為△ABC的重心，
∴D為BC邊中點
∵BF平行于PQ，CE平行于PQ，
∴BF平行于CE
∵BD=DC，BF平行于CE，
∴GD=DH
∵M為△ABC的重心，
∴AM=2MD=MD+（MG+GD）
∵GD=DH，AM=MD+（MG+GD）
∴AM=MD+MG+DH=（MD+DH）+MG=MH+MG
∵AM=MH+MG，
∴3AM=（AM+MH）+（AM+MG）=AH+AG
∵3AM=AH+AG
∴
∵BF平行于PQ，
∴
∵CE平行于PQ，
∴

∴
∴p是q的充要條件
故選C
點評：判斷應(yīng)該條件是另一個條件的什么條件，應(yīng)該先判斷前者成立是否能推出后者成立，反之后者成立是否能推出前者成立，再利用充要條件的定義加以判斷；解決三角形的重心問題要注意三角形的重心滿足的性質(zhì)：到頂點距離等于到對邊中點的2倍．