Question

17．已知集合A={x|1＜2${\;}^{{x^2}-2x-3}}$＜32}，B={x|log₂（x+3）＜3}．
（1）求（∁_RA）∩B；
（2）若（a，a+2）⊆B，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出集合A，B，得到A的補集，從而求出其和B的交集即可；
（2）根據集合的包含關系得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由1＜${2^{{x^2}-2x-3}}$＜32，
得0＜x²-2x-3＜5，
即$\left\{\begin{array}{l}（x+1）（x-3）＞0\\（x+2）（x-4）＜0\end{array}\right.$，
解得A=（-2，-1）∪（3，4），
∁_RA=（-∞，-2]∪[-1，3]∪[4，+∞），
由log₂（x+3）＜3，
得：0＜x+3＜8，B=（-3，5），
∴（∁_RA）∩B=（-3，-2]∪[-1，3]∪[4，5）．（7分）
（2）當（a，a+2）⊆B時，
得：$\left\{\begin{array}{l}a≥-3\\ a+2≤5\end{array}\right.$，
∴a∈[-3，3]．（10分）

點評 本題考查了集合的包含關系，考查指數函數以及對數函數的性質，是一道中檔題．