Question

已知實數(shù)x＞0，y＞0，且x²+y²-xy=1，則x+2y的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：三角函數(shù)的求值

分析：x²+y²-xy=1，變形為(x-

y

2

)2+

3

4

y2=1，由于x＞0，y＞0，令y=

2

3

sinθ，x-

y

2

=cosθ，θ∈(0，

π

2

]．可得x+2y=

2 21

3

sin(θ+φ)，其中φ=arctan

3

5

．即可得出．

解答： 解：x²+y²-xy=1，變形為(x-

y

2

)2+

3

4

y2=1，
∵x＞0，y＞0，令y=

2

3

sinθ，x-

y

2

=cosθ，θ∈(0，

π

2

]．
則x=cosθ+

1

3

sinθ．
∴x+2y
=cosθ+

1

3

sinθ+

4

3

sinθ
=

5

3

sinθ+cosθ
=

2 21

3

(

5 7

14

sinθ+

21

14

cosθ)
=

2 21

3

sin(θ+φ)，其中φ=arctan

3

5

．
∵sin（θ+φ）∈(

21

14

，1]，
∴

2 21

3

sin(θ+φ)∈(1，

2 21

3

]．
即（x+2y）∈(1，

2 21

3

]．
故答案為：(1，

2 21

3

]．

點評：本題考查了三角變換、配方法、三角函數(shù)的單調(diào)性、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．